Как найти жесткость пружинного маятника

Как найти жесткость пружинного маятника

Свободные колебания могут совершаться под действием внутренних сил только после выведения из положения равновесия всей системы.

Чтобы колебания совершались согласно гармоническому закону, нужно, чтобы сила, возвращающая тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из равновесного положения и направлена в сторону, противоположную смещению.

F ( t ) = m a ( t ) = — m ω 2 x ( t ) .

Соотношение говорит о том, что ω является частотой гармонического колебания. Данное свойство характерно для упругой силы в пределах применимости закона Гука:

Силы любой природы, которые удовлетворяют условию, называют квазиупругими.

То есть груз с массой m , прикрепляющийся к пружине жесткости k с неподвижным концом, изображенным на рисунке 2 . 2 . 1 , составляют систему, способную совершать гармонические свободные колебания при отсутствии силы трения.

Груз, располагаемый на пружине, называют линейным гармоническим осциллятором.

Рисунок 2 . 2 . 1 . Колебания груза на пружине. Трения нет.

Круговая частота

Нахождение круговой частоты ω 0 производится с помощью применения формулы второго закона Ньютона:

m a = — k x = m ω 0 2 x .

Частоту ω 0 называют собственной частотой колебательной системы.

Определение периода гармонических колебаний груза на пружине Т находится из формулы:

T = 2 π ω 0 = 2 π m k .

Горизонтальное расположение системы пружина-груз, сила тяжести компенсируется силой реакции опоры. При подвешивании груза на пружину направление силы тяжести идет по линии движения груза. Положение равновесия растянутой пружины равняется:

x 0 = m g k , тогда как колебания выполняются около нового равновесного состояния. Формулы собственной частоты ω 0 и периода колебаний Т в вышеуказанных выражениях являются справедливыми.

При имеющейся математической связи между ускорением тела а и координатой х поведение колебательной системы характеризуется строгим описанием: ускорение является второй производной координаты тела х по времени t :

Описание второго закона Ньютона с грузом на пружине запишется как:

m a — m x = — k x , или x ¨ + ω 0 2 x = 0 , где свободная частота ω 0 2 = k m .

Если физические системы зависят от формулы x ¨ + ω 0 2 x = 0 , тогда они в состоянии совершать свободные колебательные гармонические движения с различной амплитудой. Это возможно, так как применяется x = x m cos ( ω t + φ 0 ) .

Свободные колебания

Уравнение вида x ¨ + ω 0 2 x = 0 получило название уравнения свободных колебаний. Их физические свойства могут определять только собственную частоту колебаний ω 0 или период Т .

Амплитуда x m и начальная фаза φ 0 находят при помощи способа, который вывел их из состояния равновесия начального момента времени.

При наличии смещенного груза из положения равновесия на расстояние ∆ l и моменте времени, равном t = 0 , производится его опускание без начальной скорости. Тогда x m = ∆ l , φ 0 = 0 . Если груз находился в положении равновесия, то при толчке передается начальная скорость ± υ 0 , отсюда x m = m k υ 0 , φ 0 = ± π 2 .

Амплитуда x m с начальной фазой φ 0 определяются наличием начальных условий.

Рисунок 2 . 2 . 2 . Модель свободных колебаний груза на пружине.

Механические колебательные системы отличаются наличием сил упругих деформаций в каждой из них. Рисунок 2 . 2 . 2 показывает угловой аналог гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Диск располагается горизонтально и висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. Если его повернуть на угол θ , тогда возникает момент силы упругой деформации кручения M у п р :

Данное выражение не соответствует закону Гука для деформации кручения. Величина x аналогична k жесткости пружины. Запись второго закона Ньютона для вращательного движения диска принимает вид

I ε = M у п р = — x θ или I θ ¨ = — x θ , где моментом инерции обозначается I = I C , а ε – угловое ускорение.

Аналогично с формулой пружинного маятника:

ω 0 = x I , T = 2 π I x .

Применение крутильного маятника замечено в механических часах. Он получил название балансира, в котором создание момента упругих сил производится при помощи спиралевидной пружины.

Рисунок 2 . 2 . 3 . Крутильный маятник.

Источник: zaochnik.com

Частота колебаний пружинного маятника

Свойства пружинного маятника

Идеальный пружинный маятник представляет собой пружину, массой которой можно пренебречь, с закрепленным на ней телом с точечной массой. При этом один или оба конца пружины закреплены, а силой трения можно пренебречь.

Читать еще:  Как заряжать алкалиновые батарейки

Такую конструкцию можно рассматривать лишь как математическую модель. Примерами реальных пружинных маятников (навитых из упругой проволоки цилиндрических спиралей) могут служить всевозможные устройства, гасящие колебания: амортизаторы, подвески, рессоры и т.п. Пружинные маятники, хотя и несколько иной конструкции (в виде плоских спиралей) используются в механических часах.

Свойства пружин зависят от вещества, из которого они изготовлены (как правило, это особая пружинная сталь), диаметра проволоки, формы ее сечения, диаметра цилиндра пружины, его длины. Эти показатели в совокупности обуславливают ключевую характеристику пружины — ее жесткость.

Пружина запасает энергию при продольном растяжении или сжатии за счет упругих деформаций в кристаллической решетке своего вещества.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

При слишком сильном растяжении или сжатии материал пружины теряет упругие свойства. Такая деформация называется пластической или остаточной.

Формула для расчета частоты колебаний

Если пружину с закрепленной на ней грузом, подвергнуть продольной упругой деформации, а затем отпустить, она начнет совершать возвратно-поступательные гармонические колебания, в ходе которых перемещение закрепленного на ней груза описывается формулой:

$x = A cdot cos(omega_0 cdot t + phi)$

Здесь $A$ — амплитуда колебаний, $phi$ — начальная фаза, $omega_0$ — собственная циклическая частота колебаний пружинного маятника, рассчитываемая как

  • $k$ — жесткость пружины,
  • $m$ — масса закрепленного на ней тела.

Циклическая частота отличается тем, что характеризует не количество полных циклов за единицу времени, а количество «пройденных» колеблющейся по гармоническому закону точкой радиан.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Период колебаний пружинного маятника вычисляется как

$T = 2 cdot pi cdot sqrt>$.

Найти частоту и циклическую частоту пружинного маятника, период колебаний которого составляет 0,1 с.

Частоту можно найти как величину обратную к периоду:

Циклическую частоту можно выразить как

$omega_0 = 2 cdot pi cdot f$

$omega_0 = 2 cdot 3,1415927 cdot 10 approx 62,831854 frac<рад><с>$

Ответ: 10 герц и $approx$ 62,831854 радиан в секунду.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Источник: spravochnick.ru

Все Формулы

Все Формулы по Физике здесь

Период пружинного маятника

Период пружинного маятника зависит от жёсткости пружины: с увеличением коэффициента жёсткости пружины период колебания маятника уменьшается

Пружинный маятник — это груз, колеблющийся на пружине. Он совершает возвратно-поступательное движение. Пружинный маятник подчиняется законам движения, по которым можно определить период его колебаний, зная массу груза и жесткость пружины. Период колебаний пружинного маятника не зависит от места его расположения и амплитуды колебаний.

Давайте выведем формулу периода пружинного маятника.

На груз m горизонтального пружинного маятника действуют сила тяжести (mg), сила реакции опоры (N) и сила упругости пружины (Fynp). Запишем второй закон Ньютона для данного случая :

Все проецируем на ось ОХ:

Запишем это уравнение в форме аналогичной уравнению движения гармонического осциллятора:

Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний у нас получается:

Из уравнения видно, что циклическая частота пружинного маятника будет иметь вид:

Тогда период колебаний пружинного маятника будет равен:

Источник: xn----ctbjzeloexg6f.xn--p1ai

Формулы пружинного маятника

Определение и формулы пружинного маятника

Пружинным маятником называют систему, которая состоит из упругой пружины, к которой прикреплен груз.

Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать вертикальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе.

Читать еще:  Как сделать ящик для инструментов в машину

Уравнения колебаний пружинного маятника

Пружинный маятник, совершающий свободные колебания является примером гармонического осциллятора. Допустим, что маятник совершает колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза имеет вид:

где $<щu>^2_0=frac$ — циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:

где $_0=sqrt>>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ — амплитуда колебаний; $<(omega >_0t+varphi )$ — фаза колебаний; $varphi $ и $_1$ — начальные фазы колебаний.

В экспоненциальном виде колебания пружинного маятника можно записать как:

[Re tilde=Releft(Acdot exp left(ileft(_0t+varphi right)right)right)left(3right).]

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

Если в упругих колебаниях выполняется закон Гука, то период колебаний пружинного маятника вычисляют при помощи формулы:

Так как частота колебаний ($nu $) — величина обратная к периоду, то:

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Зная уравнение колебаний пружинного маятника (1 или 2) и начальные условия можно полностью описать гармонические колебания пружинного маятника. Начальные условия определяют амплитуда ($A$) и начальная фаза колебаний ($varphi $).

Амплитуду можно найти как:

начальная фаза при этом:

где $v_0$ — скорость груза при $t=0 c$, когда координата груза равна $x_0$.

Энергия колебаний пружинного маятника

При одномерном движении пружинного маятника между двумя точками его движения существует только один путь, следовательно, выполняется условие потенциальности силы (любую силу можно считать потенциальной, если она зависит только от координат). Так как силы, действующие на пружинный маятник потенциальны, то можно говорить о потенциальной энергии.

Пусть пружинный маятник совершает колебания в горизонтальной плоскости (рис.2). За ноль потенциальной энергии маятника примем положение его равновесия, где поместим начало координат. Силы трения не учитываем. Используя формулу, связывающую потенциальную силу и потенциальную энергию для одномерного случая:

учитывая, что для пружинного маятника $F=-kx$,

тогда потенциальная энергия ($E_p$) пружинного маятника равна:

Закон сохранения энергии для пружинного маятника запишем как:

где $dot=v$ — скорость движения груза; $E_k=frac>^2><2>$ — кинетическая энергия маятника.

Из формулы (10) можно сделать следующие выводы:

  • Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии.
  • Средняя кинетическая энергия по времени осциллятора равна его средней по времени потенциальной энергии.

Примеры задач с решением

Задание. Маленький шарик, массой $m=0,36$ кг прикреплен к горизонтальной пружине, коэффициент упругости которой равен $k=1600 frac<Н><м>$. Каково было начальное смещение шарика от положения равновесия ($x_0$), если он при колебаниях проходит его со скоростью $v=1 frac<м><с>$?

Решение. Сделаем рисунок.

По закону сохранения механической энергии (так как считаем, что сил трения нет), запишем:

где $E_$ — потенциальная энергия шарика при его максимальном смещении от положения равновесия; $E_$ — кинетическая энергия шарика, в момент прохождения положения равновесия.

Потенциальная энергия равна:

В соответствии с (1.1) приравняем правые части (1.2) и (1.3), имеем:

Из (1.4) выразим искомую величину:

Вычислим начальное (максимальное) смещение груза от положения равновесия:

Ответ. $x_0=1,5$ мм

Задание. Пружинный маятник совершает колебания по закону: $x=A $где $A$ и $omega $ — постоянные величины. Когда возвращающая сила в первый раз достигает величины $F_0,$ потенциальная энергия груза равна $E_$. В какой момент времени это произойдет?

Решение. Возвращающей силой для пружинного маятника является сила упругости, равная:

Читать еще:  Как правильно работать резаком видео

Потенциальную энергию колебаний груза найдем как:

В момент времени, который следует найти $F=F_0$; $E_p=E_$, значит:

Источник: www.webmath.ru

Как найти жесткость пружинного маятника

1. цЕУФЛПУФШ РТХЦЙООПЗП НБСФОЙЛБ 8000 о/Н. юЕНХ ТБЧЕО РЕТЙПД Й ЮБУФПФБ ЕЗП ЛПМЕВБОЙК?

2. дЧБ ПДЙОБЛПЧЩИ РТХЦЙООЩИ НБСФОЙЛБ ЛПМЕВМАФУС У БНРМЙФХДБНЙ — 3 Й 6 УН. лБЛ ТБЪМЙЮБАФУС РЕТЙПДЩ ЙИ ЛПМЕВБОЙК?

3. рТХЦЙООЩК НБСФОЙЛ УПЧЕТЫЙМ 15 ЛПМЕВБОЙК ЪБ ПДОХ НЙОХФХ. лБЛПЧЩ РЕТЙПД Й ЮБУФПФБ ЛПМЕВБОЙК?

4. лППТДЙОБФЩ РТХЦЙООПЗП НБСФОЙЛБ ЙЪНЕОСАФУС РП ЪБЛПОХ

юЕНХ ТБЧОЩ БНРМЙФХДБ, РЕТЙПД Й ЮБУФПФБ ЛПМЕВБОЙК. ч ЖПТНХМЕ ЧУЕ ЧЕМЙЮЙОЩ ЧЩТБЦЕОЩ Ч УЙУФЕНЕ уй.

лТБФЛБС ФЕПТЙС:

рТХЦЙООЩК НБСФОЙЛ – ЬФП ЗТХЪ, ЛПМЕВМАЭЙКУС ОБ РТХЦЙОЕ. пО УПЧЕТЭБЕФ ЧПЪЧТБФОП-РПУФХРБФЕМШОПЕ ДЧЙЦЕОЙЕ. рТХЦЙООЩК НБСФОЙЛ РПДЮЙОСЕФУС ЪБЛПОБН ДЧЙЦЕОЙС, РП ЛПФПТЩН НПЦОП ПРТЕДЕМЙФШ РЕТЙПД ЕЗП ЛПМЕВБОЙК, ЪОБС НБУУХ ЗТХЪБ Й ЦЕУФЛПУФШ РТХЦЙОЩ. рЕТЙПД ЛПМЕВБОЙК РТХЦЙООПЗП НБСФОЙЛБ ОЕ ЪБЧЙУЙФ ПФ НЕУФБ ЕЗП ТБУРПМПЦЕОЙС Й БНРМЙФХДЩ ЛПМЕВБОЙК.

жПТНХМЩ ДМС ТЕЫЕОЙС :


бМЗПТЙФН ТЕЫЕОЙС ФЙРПЧПК ЪБДБЮЙ:

1. лТБФЛП ЪБРЙУЩЧБЕН ХУМПЧЙЕ, ЙЪПВТБЦБЕН ЕЗП ЗТБЖЙЮЕУЛЙ. оБ ТЙУХОЛЕ ПВПЪОБЮБЕН ОЕПВИПДЙНЩЕ ДБООЩЕ: УЙМЩ, ДЕКУФЧХАЭЙЕ ОБ НБСФОЙЛ, ОБРТБЧМЕОЙЕ ЕЗП ДЧЙЦЕОЙС Й ДТХЗЙЕ.
2. ъБРЙУЩЧБЕН ПУОПЧОХА ЖПТНХМХ ДМС ПРТЕДЕМЕОЙС РЕТЙПДБ ЛПМЕВБОЙК РТХЦЙООПЗП НБСФОЙЛБ Й ДТХЗЙЕ ОЕПВИПДЙНЩЕ ЖПТНХМЩ ЛПМЕВБФЕМШОПЗП ДЧЙЦЕОЙС. пРТЕДЕМСЕН, ЛБЛЙЕ ЧЕМЙЮЙОЩ ОБДП ОБКФЙ ЙЪ ДТХЗЙИ НЕИБОЙЮЕУЛЙИ УППФОПЫЕОЙК, ЪБРЙУЩЧБЕН ЙИ.
3. тЕЫБЕН РПМХЮЕООЩЕ ХТБЧОЕОЙС Ч ПВЭЕН ЧЙДЕ.
4. рПДУФБЧМСЕН ДБООЩЕ, ЧЩЮЙУМСЕН. рЕТЕД РПДУФБОПЧЛПК РЕТЕЧПДЙН ЧУЕ ДБООЩЕ Ч ЕДЙОХА УЙУФЕНХ.
5. ъБРЙУЩЧБЕН ПФЧЕФ.

рТЙНЕТЩ ТЕЫЕОЙС:

нБУУБ ЗТХЪБ РТХЦЙООПЗП НБСФОЙЛБ 0,5 ЛЗ, ЦЕУФЛПУФШ РТХЦЙОЩ 8000 о/Н. юЕНХ ТБЧЕО РЕТЙПД Й ЮБУФПФБ ЕЗП ЛПМЕВБОЙК?

1. лТБФЛП ЪБРЙУЩЧБЕН ХУМПЧЙЕ, ЙЪПВТБЦБЕН ЕЗП ЗТБЖЙЮЕУЛЙ.

2. ъБРЙУЩЧБЕН ПУОПЧОХА ЖПТНХМХ ДМС ПРТЕДЕМЕОЙС РЕТЙПДБ ЛПМЕВБОЙК РТХЦЙООПЗП НБСФОЙЛБ Й УППФОПЫЕОЙЕ НЕЦДХ РЕТЙПДПН Й ЮБУФПФПК ЛПМЕВБОЙК.

3. тЕЫБЕН РПМХЮЕООЩЕ ХТБЧОЕОЙС Ч ПВЭЕН ЧЙДЕ. жПТНХМЩ УТБЪХ ДБАФ ПВЭЕЕ ТЕЫЕОЙЕ.

4. рПДУФБЧМСЕН ДБООЩЕ, ЧЩЮЙУМСЕН.

5. пФЧЕФ: юБУФПФБ ЛПМЕВБОЙК РТЙНЕТОП 20 ЗЕТГ, ЙИ РЕТЙПД – 0,05 УЕЛХОДЩ.

дЧБ ПДЙОБЛПЧЩИ РТХЦЙООЩИ НБСФОЙЛБ ЛПМЕВМАФУС У БНРМЙФХДБНЙ — 3 Й 6 УН. лБЛ ТБЪМЙЮБАФУС РЕТЙПДЩ ЙИ ЛПМЕВБОЙК?

1. лТБФЛП ЪБРЙУЩЧБЕН ХУМПЧЙЕ, ЙЪПВТБЦБЕН ЕЗП ЗТБЖЙЮЕУЛЙ.

2. ъБРЙУЩЧБЕН ПУОПЧОХА ЖПТНХМХ ДМС ПРТЕДЕМЕОЙС РЕТЙПДБ ЛПМЕВБОЙК РТХЦЙООПЗП НБСФОЙЛБ.

3. тЕЫБЕН РПМХЮЕООЩЕ ХТБЧОЕОЙС Ч ПВЭЕН ЧЙДЕ.

4. рПДУФБЧМСЕН ДБООЩЕ, ЧЩЮЙУМСЕН.

5. пФЧЕФ: рЕТЙПД ЛПМЕВБОЙК РТХЦЙООПЗП НБСФОЙЛБ ОЕ ЪБЧЙУЙФ ПФ БНРМЙФХДЩ.

рТХЦЙООЩК НБСФОЙЛ УПЧЕТЫЙМ 15 ЛПМЕВБОЙК ЪБ ПДОХ НЙОХФХ. лБЛПЧЩ РЕТЙПД Й ЮБУФПФБ ЛПМЕВБОЙК?

1. лТБФЛП ЪБРЙУЩЧБЕН ХУМПЧЙЕ, ЙЪПВТБЦБЕН ЕЗП ЗТБЖЙЮЕУЛЙ.

2. юБУФПФБ ЛПМЕВБОЙК – ЬФП ЙИ ЛПМЙЮЕУФЧП Ч ЕДЙОЙГХ ЧТЕНЕОЙ. еДЙОЙГБ ЧТЕНЕОЙ Ч УЙУФЕНЕ уй – УЕЛХОДБ. ъОБЮЙФ, ОБДП РТПУФП ОБКФЙ ЛПМЙЮЕУФЧП ЛПМЕВБОЙК Ч УЕЛХОДХ. дМС ЬФПЗП ЛПМЙЮЕУФЧП ЛПМЕВБОЙК Ч НЙОХФХ ОБДП ТБЪДЕМЙФШ ОБ 60, ФБЛ ЛБЛ Ч НЙОХФЕ 60 УЕЛХОД.

рЕТЙПД – ЧЕМЙЮЙОБ, ПВТБФОБС ЮБУФПФЕ.

3. тЕЫБЕН РПМХЮЕООЩЕ ХТБЧОЕОЙС Ч ПВЭЕН ЧЙДЕ. жПТНХМЩ УТБЪХ ДБАФ ПВЭЕЕ ТЕЫЕОЙЕ.

4. рПДУФБЧМСЕН ДБООЩЕ, ЧЩЮЙУМСЕН.

5. пФЧЕФ: РЕТЙПД ЛПМЕВБОЙК ТБЧЕО 4 УЕЛХОДБН, ЙИ ЮБУФПФХ – 0,25 ЗЕТГБ.

лППТДЙОБФЩ РТХЦЙООПЗП НБСФОЙЛБ ЙЪНЕОСАФУС РП ЪБЛПОХ

юЕНХ ТБЧОЩ БНРМЙФХДБ, РЕТЙПД Й ЮБУФПФБ ЛПМЕВБОЙК. ч ЖПТНХМЕ ЧУЕ ЧЕМЙЮЙОЩ ЧЩТБЦЕОЩ Ч УЙУФЕНЕ уй.

1. лТБФЛП ЪБРЙУЩЧБЕН ХУМПЧЙЕ, ЙЪПВТБЦБЕН ЕЗП ЗТБЖЙЮЕУЛЙ.

2. ъБРЙУЩЧБЕН ПВЭЕЕ ХТБЧОЕОЙЕ ЗБТНПОЙЮЕУЛПЗП ЛПМЕВБОЙС. уТБЧОЙЧБЕН ЪБДБООПЕ ХТБЧОЕОЙЕ ДЧЙЦЕОЙС НБСФОЙЛБ У ПВЭЙН ХТБЧОЕОЙЕН.

3. йЪ УТБЧОЕОЙС РПМХЮБЕН:

пФУАДБ МЕЗЛП ЧЩЮЙУМСЕФУС ЮБУФПФБ Й РЕТЙПД ЛПМЕВБОЙК.

4. рПДУФБЧМСЕН ДБООЩЕ, ЧЩЮЙУМСЕН

5. пФЧЕФ: бНРМЙФХДБ ЛПМЕВБОЙК ТБЧОБ 0,5 НЕФТБ, РЕТЙПД – ЮЕФЩТЕН УЕЛХОДБН, ЮБУФПФБ – 0,25 зГ.

Источник: izotovmi.chat.ru

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector