Формула для расчета периода колебаний пружинного маятника

Формула для расчета периода колебаний пружинного маятника

Все формулы по физике и математике

Темы по физике

  • Механика (56)
    • Кинематика (19)
    • Динамика и статика (32)
    • Гидростатика (5)
  • Молекулярная физика (25)
    • Уравнение состояния (3)
    • Термодинамика (15)
    • Броуновское движение (6)
    • Прочие формулы по молекулярной физике (1)
  • Колебания и волны (22)
  • Оптика (9)
    • Геометрическая оптика (3)
    • Физическая оптика (5)
    • Волновая оптика (1)
  • Электричество (39)
  • Атомная физика (15)
  • Ядерная физика (3)

Темы по математике

  • Квадратный корень, рациональные переходы (1)
  • Квадратный трехчлен (1)
  • Координатный метод в стереометрии (1)
  • Логарифмы (1)
  • Логарифмы, рациональные переходы (1)
  • Модуль (1)
  • Модуль, рациональные переходы (1)
  • Планиметрия (1)
  • Прогрессии (1)
  • Производная функции (1)
  • Степени и корни (1)
  • Стереометрия (1)
  • Тригонометрия (1)
  • Формулы сокращенного умножения (1)

Период пружинного маятника

Ребята! Кто давно хотел выучить английский?
Переходите по моей ссылке и получите два бесплатных урока в школе английского языка SkyEng!
Занимаюсь там сам — очень круто. Прогресс налицо.

В приложении можно учить слова, тренировать аудирование и произношение.

Попробуйте. Два урока бесплатно по моей ссылке!
Жмите СЮДА

Период пружинного маятника — зависит от жёсткости пружины: с увеличением коэффициента жёсткости пружины период колебания маятника уменьшается

Пружинный маятник — это груз, колеблющийся на пружине. Он совершает возвратно-поступательное движение. Пружинный маятник подчиняется законам движения, по которым можно определить период его колебаний, зная массу груза и жесткость пружины. Период колебаний пружинного маятника не зависит от места его расположения и амплитуды колебаний.

Давайте выведем формулу периода пружинного маятника.

На груз m горизонтального пружинного маятника действуют сила тяжести (mg), сила реакции опоры (N) и сила упругости пружины (Fynp). Запишем второй закон Ньютона для данного случая :

Все проецируем на ось ОХ:

Запишем это уравнение в форме аналогичной уравнению движения гармонического осциллятора:

Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний у нас получается:

Из уравнения видно, что циклическая частота пружинного маятника будет иметь вид:

Тогда период колебаний пружинного маятника будет равен:

Период математического маятника

Период физического маятника

Период крутильного маятника

В Формуле мы использовали :

— Период пружинного маятника маятника

— Масса груза

— Изменение длины пружины

— Коэффициент упругости пружины

— Ускорение свободного падения

— Циклическая частота пружинного маятника

— Сила реакции опоры

— Сила упругости

Источник: xn--b1agsdjmeuf9e.xn--p1ai

Формула периода колебаний пружинного маятника

Период — это минимальное время, за которое совершается одно полное колебательное движение.

Обозначают период буквой $T$.

где $Delta t$ — время колебаний; $N$ — число полных колебаний.

Уравнение колебаний пружинного маятника

Рассмотрим простейшую колебательную систему, в которой можно реализовать механические колебания. Это груз массы $m$, подвешенный на пружине, коэффициент упругости которой равен $k $(рис.1). Рассмотри вертикальное движение груза, которое обусловлено действием силы тяжести и силы упругости пружины. В состоянии равновесия такой системы, сила упругости равна по величине силе тяжести. Колебания пружинного маятника возникают, когда систему выводят из состояния равновесия, например, слегка дополнительно растянув пружину, после этого маятник предоставляют самому себе.

Допустим, что масса пружины мала в сравнении с массой груза, при описании колебаний ее учитывать не будем. Началом отсчета будем считать точку на оси координат (X), которая совпадает с положением равновесия груза. В этом положении пружина уже имеет удлинение, которое обозначим $b$. Растяжение пружины происходит из-за действия на груз силы тяжести, следовательно:

Читать еще:  Электробритва отзывы мужчин рейтинг

Если груз смещают дополнительно, но закон Гука еще выполняется, то сила упругости пружины становится равна:

Ускорение груза запишем, помня, что движение происходит по оси X, как:

Второй закон Ньютона для груза принимает вид:

Учтем равенство (2), формулу (5) преобразуем к виду:

Если ввести обозначение: $^2_0=frac$, то уравнение колебаний запишем как:

где $^2_0=frac$ — циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (7) (это проверяется непосредственной подстановкой) является функция:

где $_0=sqrt>>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ — амплитуда колебаний; $<(omega >_0t+varphi )$ — фаза колебаний; $varphi $ и $_1$ — начальные фазы колебаний.

Формулы периода колебаний пружинного маятника

Мы получили, что колебания пружинного маятника описывается функцией косинус или синус. Это периодические функции, значит, смещение $x$ будет принимать равные значения через определенные одинаковые промежутки времени, которые называют периодом колебаний. Обозначают период буквой T.

Еще одной величиной, характеризующей колебания является величина обратная периоду колебаний, ее называют частотой ($nu $):

Период связан с циклической частотой колебаний как:

Выше мы получали для пружинного маятника $_0=sqrt>$, следовательно, период колебаний пружинного маятника равен:

Формула периода колебаний пружинного маятника (11) показывает, что $T$ зависит от массы груза, прикрепленного к пружине и коэффициента упругости пружины, но не зависит от амплитуды колебаний (A). Данное свойство колебаний называют изохронностью. Изохронность выполняется до тех пор, пока справедлив закон Гука. При больших растяжениях пружины закон Гука нарушается, появляется зависимость колебаний от амплитуды. Подчеркнем, что формула (11) для вычисления периода колебаний пружинного маятника справедлива при малых колебаниях.

Примеры задач на период колебаний

Задание. Пружинный маятник совершил 50 полных колебаний за время равное 10 с . Каков период колебаний маятника? Чему равна частота этих колебаний?

Решение. Так как период — это минимальное время необходимое маятнику для совершения одного полного колебания, то найдем его как:

Частота — величина обратная периоду, следовательно:

Вычислим частоту колебаний:

Ответ. $1) T=0,2$ с; 2) 5Гц

Задание.Две пружины, имеющие коэффициенты упругости $k_1$ и $k_2$ соединены параллельно (рис.2), к системе присоединен груз массы $M$. Каков период колебаний полученного пружинного маятника, если массами пружин можно пренебречь, сила упругости, действующая на груз, подчиняется закону Гука?

Решение. Воспользуемся формулой для вычисления периода колебаний пружинного маятника:

При параллельном соединении пружин результирующая жесткость системы находится как:

Это означают, что вместо $k$ в формулу для вычисления периода пружинного маятника подставим правую часть выражения (2.2), имеем:

Ответ. $T=2pi sqrt_2>>$

Источник: www.webmath.ru

Все Формулы

Все Формулы по Физике здесь

Период пружинного маятника

Период пружинного маятника зависит от жёсткости пружины: с увеличением коэффициента жёсткости пружины период колебания маятника уменьшается

Пружинный маятник — это груз, колеблющийся на пружине. Он совершает возвратно-поступательное движение. Пружинный маятник подчиняется законам движения, по которым можно определить период его колебаний, зная массу груза и жесткость пружины. Период колебаний пружинного маятника не зависит от места его расположения и амплитуды колебаний.

Читать еще:  Чем спаять латунь с латунью

Давайте выведем формулу периода пружинного маятника.

На груз m горизонтального пружинного маятника действуют сила тяжести (mg), сила реакции опоры (N) и сила упругости пружины (Fynp). Запишем второй закон Ньютона для данного случая :

Все проецируем на ось ОХ:

Запишем это уравнение в форме аналогичной уравнению движения гармонического осциллятора:

Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний у нас получается:

Из уравнения видно, что циклическая частота пружинного маятника будет иметь вид:

Тогда период колебаний пружинного маятника будет равен:

Источник: xn----ctbjzeloexg6f.xn--p1ai

Механические колебания. Пружинный маятник

Механическими колебаниями называются движения, характеризующиеся определенной повторяемостью во времени.

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.

Гармоническими называются колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (или косинуса).

Пружинный маятник – это колебательная система, состоящая из груза массой т, закрепленного на пружине, совершающая гармонические колебания под действием упругой силы , зависящей от величины линейной деформации x по закону Гука (Fx = – kx, где k – жесткость пружины.

Согласно второму закону Ньютона уравнение движения маятника:

.

Так как ускорение a является второй производной от смещения x (), то

или .

Если обозначить , то получим дифференциальное уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний пружинного маятника:

.

Решением этого дифференциального уравнения является функция x(t):

,

где отклонение тела от положения равновесия в момент времени t;

А – амплитуда колебания, то есть максимальное отклонение колеблющегося тела от положения равновесия;

wкруговая (циклическая) частота;

j начальная фаза колебания.

Круговая частота , где Т – период колебаний: .

Кинетическая энергия колебаний пружинного маятника:

.

Потенциальная энергия колебаний пружинного маятника:

.

Полная энергия колебаний пружинного маятника:

,

откуда видно, что полная энергия свободных незатухающих гармонических колебаний пружинного маятника остается со временем постоянной.

Свободные затухающие гармонические колебания пружинного маятника (рис. 6). Для пружинного маятника массой т, совершающего колебания под действием упругой силы (Fx = – kx)с учетомсилы сопротивления , пропорциональной скорости движения груза (), второй закон Ньютона имеет вид:

,

где rкоэффициент сопротивления.

Обозначив и ( коэффициент затухания), получим дифференциальное уравнение свободных затухающих гармонических колебаний пружинного маятника:

.

Решением этого дифференциального уравнения в случае малых затуханий

является функция x(t):

,

где амплитуда затухающих колебаний в момент времени t;

начальная амплитуда, т.е. амплитуда в момент времени t = 0,

круговая (циклическая) частота:

Период затухающих гармонических колебаний пружинного маятника:

.

Декремент затухания. Если A(tА(t+Т) амплитуды двух последовательных колебаний (рис. 6), то отношение этих величин называется декрементом затухания .

Логарифм называется логарифмическим декрементом затухания :

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9396 — | 7429 — или читать все.

188.64.173.93 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Источник: studopedia.ru

Формула для расчета периода колебаний пружинного маятника

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению (см. §2.1):

Читать еще:  Кованый крючок для одежды
.

В этом соотношении – круговая частота гармонических колебаний. Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона Гука:

.

Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими .

Таким образом, груз некоторой массы , прикрепленный к пружине жесткости , второй конец которой закреплен неподвижно (рис. 2.2.1), составляют систему, способную в отсутствие трения совершать свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором .

Рисунок 2.2.1.

Круговая частота свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона:

откуда

Частота называется собственной частотой колебательной системы.

Период гармонических колебаний груза на пружине равен

При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину , равную

и колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты и периода колебаний справедливы и в этом случае.

Строгое описание поведения колебательной системы может быть дано, если принять во внимание математическую связь между ускорением тела и координатой : ускорение является второй производной координаты тела по времени :

Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде

или

(*)

где

Все физические системы (не только механические), описываемые уравнением (*), способны совершать свободные гармонические колебания, так как решением этого уравнения являются гармонические функции вида

m cos .

Уравнение (*) называется уравнением свободных колебаний . Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний или период . Такие параметры колебательного процесса, как амплитуда m и начальная фаза , определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.

Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние и затем в момент времени отпущен без начальной скорости, то m = , .

Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость то

Таким образом, амплитуда m свободных колебаний и его начальная фаза определяются начальными условиями .

Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций. На рис. 2.2.2 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте диска на угол возникает момент сил упругой деформации кручения:

.

Это соотношение выражает закон Гука для деформации кручения. Величина аналогична жесткости пружины . Второй закон Ньютона для вращательного движения диска записывается в виде (см. §1.23)

где – момент инерции диска относительно оси, проходящий через центр масс, – угловое ускорение.

По аналогии с грузом на пружине можно получить:

Крутильный маятник широко используется в механических часах. Его называют балансиром. В балансире момент упругих сил создается с помощью спиралевидной пружинки.

Источник: physics.ru

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector